Cos'è completamento del quadrato?

Completamento del Quadrato

Il completamento del quadrato è una tecnica algebrica utilizzata per trasformare un'espressione quadratica nella forma standard di un quadrato perfetto più una costante. È un metodo utile per:

• Risolvere equazioni quadratiche.
• Trovare il vertice di una parabola.
• Integrare espressioni quadratiche.
• Rielaborare le equazioni delle coniche.

Idea Fondamentale:

L'idea alla base del completamento del quadrato è di manipolare un'espressione quadratica della forma ax² + bx + c per riscriverla come a(x + h)² + k, dove h e k sono costanti. L'espressione (x + h)² rappresenta un quadrato perfetto.

Passi per il Completamento del Quadrato (quando a = 1):

Consideriamo l'espressione quadratica nella forma x² + bx + c:

1. Trovare la metà del coefficiente di x: Calcolare b/2.

2. Elevare al quadrato il risultato: Calcolare (b/2)². Questo è il valore che dobbiamo aggiungere e sottrarre all'espressione per completare il quadrato.

3. Aggiungere e sottrarre (b/2)² all'espressione: x² + bx + (b/2)² - (b/2)² + c

4. Riscrivere i primi tre termini come un quadrato perfetto: (x + b/2)² - (b/2)² + c

5. Semplificare: Combinare le costanti per ottenere la forma * (x + h)² + k*.

Passi per il Completamento del Quadrato (quando a ≠ 1):

Consideriamo l'espressione quadratica nella forma ax² + bx + c:

1. Fattorizzare a dai primi due termini: a(x² + (b/a)x) + c

2. Completare il quadrato all'interno delle parentesi:

   • Trovare la metà del coefficiente di x: Calcolare (b/2a).
   • Elevare al quadrato il risultato: Calcolare (b/2a)².
   • Aggiungere e sottrarre (b/2a)² all'interno delle parentesi: a(x² + (b/a)x + (b/2a)² - (b/2a)²) + c

3. Riscrivere i primi tre termini all'interno delle parentesi come un quadrato perfetto: a((x + b/2a)²) - a(b/2a)² + c

4. Semplificare: a(x + b/2a)² - b²/4a + c

5. Combinare le costanti: Per ottenere la forma a(x + h)² + k.

Esempio:

Completiamo il quadrato per l'espressione x² + 6x + 5:

1. b/2 = 6/2 = 3
2. (b/2)² = 3² = 9
3. x² + 6x + 9 - 9 + 5
4. (x + 3)² - 9 + 5
5. (x + 3)² - 4

Quindi, x² + 6x + 5 può essere riscritto come (x + 3)² - 4.

Importanza e Applicazioni:

• Risoluzione di Equazioni Quadratiche: Completando il quadrato in un'equazione quadratica della forma ax² + bx + c = 0, possiamo isolare x e trovare le sue radici. Questo metodo è particolarmente utile quando la fattorizzazione diretta non è semplice.

• Vertice di una Parabola: La forma a(x + h)² + k rivela immediatamente il vertice della parabola rappresentata dall'equazione quadratica. Il vertice è il punto (-h, k).

• Calcolo Integrale: Il completamento del quadrato semplifica gli integrali che coinvolgono espressioni quadratiche nel denominatore.

• Forme Canoniche di Coniche: Il completamento del quadrato è fondamentale per ottenere le forme canoniche delle equazioni di ellissi, iperboli e parabole. Questo permette di identificare facilmente le caratteristiche chiave di queste figure geometriche (centro, assi, vertici, fuochi, ecc.).

Approfondimenti:

• Equazioni quadratiche
• Parabole
• Vertice%20della%20Parabola